問題）次の数は、素数であるかどうかを、それぞれ調べなさい。

①1338　　　②6381　　　③2385　　　④91

⑤97　　　⑥149　　　⑦211　　　⑧323

問題の形式はどうなるかわかりませんが、例えば、解答欄に「素数であるもの」と「素数でないもの」の枠があり、そこに各数字の番号を割り振っていく、という形態が予想されます。

 

どちらにせよ、与えられた数を1つずつ検討していくしかありません。

 

「１とその数しか約数を持たない」のが、素数です。

逆にいえば、1とその数以外に１つでも約数を持てば、「素数ではない」といえます。

 

素数の小さい方から順に（2，3，5，7，11，13，・・・）、わりきれるかどうかを確認していくのが基本です。

 

素数だけでいいです。

例えば、6は素数ではありません（2と3も約数に持っています）が、ある数が6でわりきれるとしたら、その前に2か3でわりきれているはずですよね。

 

ですから、素数だけ順に、小さい方から調べていけばよいです。

 

それでは、みていきましょう。

 

①～③は数が大きいですね。

その分、簡単な見分け方があるはずです。それを、確認していきましょう。

「1368」は、一の位が「8」で偶数です。

一の位が偶数（0，2，4，6，8）なら、その数自体も偶数で、必ず2でわりきれます。

よって、1368は2を約数に持ち、素数ではありません。

 

これが、基本になります。

「2」以外の偶数はすべて素数ではなく、それは一の位だけで判断できます。

一の位が「1」と奇数なので、6381自体も奇数であり、2の倍数ではありません。

 

次に3の倍数であるか（3でわれるか）を検討します。

 

これは、実際にわってみなくてもわかります。

 

「各位の数をたしてみて、3の倍数になれば、その数自体も3の倍数である」

・・・という重要な数の性質があります。

 

6381も、試してみましょう。

 

「6＋3＋8＋1」より「18」・・・18は3の倍数です。

よって、6381は3を約数に持ち、素数ではありません。

 

なお、6＋3＋8＋1より18という数字が出ましたが、この各位をさらにたしてみると、

「1＋8」より「9」と、3の倍数になります。

 

3の倍数だったら、どんなに桁数が多くても、この操作を繰り返していけば、必ず一桁の整数（3，6，9）のどれかになります。

 

また、補足説明になりますが、各位の数をたして9の倍数になればその数自体も9の倍数です。

6381の各位の数の和は18で、18は9の倍数なので、6381自体も9の倍数です。（9でわって、試してみましょう）

一の位が奇数なので、2の倍数ではありません。

順番にいうと、次は3の倍数か検討しなければいけませんが、これは、その前に見えますよね。

 

5の倍数は、一の位が必ず「5」か「0」になります。

2385は、一の位が5なので、5を約数に持ち、素数ではありません。

奇数なので、2の倍数ではありません。

9＋1＝10で、10は3の倍数ではないので、3の倍数でもありません。

一の位が0でも5でもないので、5の倍数でもありません。

 

よって、次に小さい素数7でわれるか調べてみます。

（くり返しますが、4や6でわりきれるか試す必要はありません。これらの数でわりきれるとしたら、その前に2や3でわりきれたはずです。素数だけ調べればよいです。）

 

91÷7を計算してみると（筆算でいいですよ）、整数の範囲でわりきれました。

91÷7＝13・・・91＝7×13ということですね。

 

91は、7を約数に持ちます。素数ではありません。

ここまでに示した方法で、2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でもないことは、わかります。

7でわってみると・・・筆算です。あまりのあるわり算として扱いましょう。

 

97÷7は、「13あまり6」です。

97＝7×13＋6なので、97は7の倍数では、ありません。

 

次に小さい素数は、11なので11でわってみましょう。

97÷11は、「8あまり9」です。

97＝11×8＋9なので、97は11の倍数ではありません。

 

ここで、大切なポイントがあります。

 

7でわるときにくらべ、11でわったとき、商（上の赤字で示した数）は、わる数（青字で示した数）より、小さくなりましたね。

 

ですので、本当は、わってみる必要すらなかったのです。

11×11＝121ですから、121より小さい数を11でわると、商は必ず11より小さい数になります。

 

もし仮に、97が素数でないとしたら、11の前の2，3，5，7のいずれかで、すでにわりきれていたはずです。

 

97は（11×11の）121より小さい数で、2，3，5，7でわりきれないので、素数です。

 

（参考書などで、この類の問題に「11²＝121」という解説がのっていると思いますが、これはこのような意味です。）

 

大切なところなので、補足しましょう。

学校授業で、「エラトステネスのふるい」を紹介されましたね。

ここでは、100までの自然数で考えてみましょう。

「1」は素数ではないので、✖をします。

「2」は素数なので、丸で囲み、2の倍数である偶数（一の位が、2，4，6，8，0の数）を、縦の線で、ざっと消します。

「3」も素数なので丸で囲みます。3の倍数は、斜めの線で消せます。

 

「4」は素数ではないので、もう消えていて、次の「5」が素数なので、丸で囲みます。

5の倍数である一の位が5である縦の行が消えます。一の位が0の数は偶数（2の倍数）なので、すでに消えています。

「6」は素数ではないのですでに消えています。

 

次の「7」が素数なので、丸で囲みます。

7の倍数を消さないといけませんが・・・

 

7×7＝49

7×11＝77

7×13＝91

 

・・・の、3つしか新たに消せませんね。

いずれも7に、7または7より大きい素数をかけてできる数です。

7の倍数のうち、7より小さい数の倍数でもある数は、すでに消えているはずですからね。

 

次に小さい素数は「11」ですが、・・・

この100までの表では、11の倍数は検討することないですね。

 

11の倍数を調べても、新たに消せるものは、ありません。

11の倍数のうち、11より小さい数の倍数でもある数は、すでに消えています。

 

11の倍数のうち、次に消せるのは、11×11の121です。

100までの自然数の範囲では・・・

「2，3，5，7の倍数」ではないことを確認すれば、素数と判断できます。

 

このうち、2の倍数と、5の倍数は一の位で判断できますし、

3の倍数も、各位をたすことで確認できます。

 

7の倍数は、7でわってみないといけませんが、49と77と91だけです。

このうち、49や77が7の倍数であることは、筆算しなくても、すぐにわかりますよね。

149は、2，3，5の倍数では、ありません。

また、7でわってもわり切れないので、7の倍数でもありません。

 

次に小さい素数「11」で、わってみましょう。

 

149÷11＝13あまり6（149＝11×13＋6）

・・・よって、149は11の倍数ではありません。

 

次に小さい素数「13」でわってみましょう。

 

149÷13＝11あまり6（149＝13×11＋6）

商の11が、わる数の13より小さくなりました。

わりきれるとしたら、149は13より小さい数を約数に持つということになり、矛盾（むじゅん）になります。

 

よって、149は、素数です。

 

今回の解説記事で、もっとも訴えたかったことは、ここにあります。

 

一般的な参考書では・・・

「13²＝169、149＜169なので、11の倍数まで検討すればよい」と、解説されています。

・・・でも、少し、わかりづらいですよね。

 

ここで示したように、小さい素数から順に割っていき、・・・

商が、わる素数より小さくなったら、そこで、その数は素数だと判断してよい、ということです。

211は、2，3，5の倍数ではありません。

 

211÷7＝30あまり1（211＝7×30＋1）・・・よって、211は7の倍数では、ありません。

 

211÷11＝19あまり2（211＝11×19＋2）・・・よって、211は11の倍数ではありません。

 

211÷13＝16あまり3（211＝13×16＋3）・・・よって、211は13の倍数ではありません。

 

次に小さい素数は「17」です。

 

211÷17＝12あまり7（211＝17×12＋7）

商が17より小さくなりました。これ以上、調べる必要はありません。

211は、素数です。

 

323は、2，3，5の倍数ではありません。

後は、小さい素数から順にわてみましょう。

商が、わる素数より小さくならない限り、これを続けます。

 

323÷7＝47あまり4（323＝7×47＋4）・・・よって、323は7の倍数ではありません。

323÷11＝29あまり4（323＝11×29＋4）・・・よって、323は11の倍数ではありません。

323÷13＝24あまり11（323＝13×24＋11）・・・よって、323は13の倍数ではありません。

 

323÷17＝19・・・わり切れました。323は17の倍数です。323は素数ではありません。

 

解答をまとめます。

「素数」および「素因数分解」については、まとめ解説動画もあげています。

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